流形上的PDE一般是研究生才会系统接触的东西。
不过嘛，林决最近也在看相关的内容了。
“说说.....”
林决点点头，
“流形上的局部坐标卡。切丛和余切丛的构造，以及拉普拉斯算子在弯曲空间中的局部表达式。”
“哦？”
江维汉微微挑了挑眉，
“那你知道，球面和双曲平面上，拉普拉斯算子的谱分布有什么本质区别？”
林决想了想，
“球面紧致，曲率为正，拉普拉斯算子的谱是离散的，可以用球谐函数展开。”
“双曲平面非紧，曲率为负，谱是连续的，要用傅里叶赫尔曼变换处理。”
江维汉：“那柯西问题在非光滑流形上的适定性条件？”
林决下意识说道，
“这就要要看奇点的类型了，如果是锥形奇点，可以在远离顶点处构造弱解，但在奇点位置需要用权空间对解做限制。”
“如果是边值条件耦合了曲率项的话，就需要把边值问题和内部的曲率张量放在同一组方程里联立处理，不能再单独拆开。”
“不错。”
江维汉的笔在纸上轻轻点了一下。
紧接着，他问了一个跳脱的问题，
“你对等谱问题的了解？”
“同谱不意味着同构。”林决说，“如果两个区域的拉普拉斯算子的谱完全相同，不一定能推出它们等距。”
“在三维呢？”
“三维不能用鼓面了，要换例子。”
“目前已知的是Sunada构......用两个不同构但特征多项式相同的有限群，通过覆盖空间生成等谱但不等距的流形。
不过Sunada流形的曲率是零，正曲率的情况还没有完全解决。”
江维汉再一次点了点头，脸上满是笑意看着他，
“你管这叫略懂！？”
林决挠了挠头，露出乖巧的笑，
“在您面前，学生可不就略懂吗？”
江维汉呵了一声。
如果这叫略懂，那那些面对后面两个问题满脸懵逼的数院硕士算什么？
不过，那种惊讶的情绪并未在心中停留太久。
毕竟林决之前都能纠正他的错误，便说明对数学的知识储备已经相当完善。
而紧接着，他从公文包里拿出一叠厚厚的文件，
“这是我课题组目前在处理的一个问题，等谱流形在非正曲率条件下的刚性分类。”
说着，他将文件翻到一页，然后指着其中一行对林决道，
“你看这里，我们卡在这一步有半年了。”
“这个引理成立的前提要求曲率张量在边界处满足一个积分条件，但这个条件在测试模型里验证的时候，总是差了一个符号......”
说到这里，他微微顿了顿，
“当然，林决你也不要有太大的压力，毕竟你连研究生阶段的系统训练都还没完成，我来也不是指望你能直接解决的。”
“我只是很好奇，能在我论文里找到隐藏跳跃项的人，在看到它的时候，会不会有我们没发现的新思路新想法。”
林决视线落到那张稿件上半晌，
“江院长，我能解决这个问题的话......有什么好处吗？”
江维汉微微一怔，然后笑了出来，
“你如果真能解决，这个课题算你一作又如何？”
林决挠挠头，“额.....我不是这个意思......”
“直说无妨。”
“江老您也知道，我还年轻，又没资历，如果太锋芒毕露，得罪太多人不好......”
江维汉：“说人话。”
“我没学术背景，怕以后被打压。”
江维汉指了指自己，“你看我怎么样？够不够资格做你的学术背景？”
林决纳头便拜，“承蒙老师恩情！！！”
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